ધારો કે $(1 + x + x^2)^{20}(2x + 1) = a_0 + a_1x^1 + a_2x^2 + ... + a_{41}x^{41}$,તો $\frac{a_0}{1} + \frac{a_1}{2} + .... + \frac{a_{41}}{42}$ ની કિંમત શોધો.

જો $(1 + x + x^2)^n$ ના વિસ્તરણમાં $a_r$ એ $x^r$ નો સહગુણક હોય,તો $a_1 - 2a_2 + 3a_3 - \dots - 2n\,a_{2n} = $

$1$ થી $10$ નંબર ધરાવતી દસ ટ્રકો ખાંડના પેકેટ લઈ જઈ રહી છે. દરેક પેકેટનું વજન કાં તો $999 \ g$ છે અથવા $1000 \ g$ છે અને દરેક ટ્રક સમાન વજનના પેકેટ લઈ જાય છે. પ્રથમ ટ્રકમાંથી $1$ પેકેટ,બીજી ટ્રકમાંથી $2$ પેકેટ,ત્રીજી ટ્રકમાંથી $4$ પેકેટ,અને આ રીતે દસમી ટ્રકમાંથી $2^9$ પેકેટનું કુલ વજન $1022870 \ g$ છે. કઈ ટ્રકોમાં હલકા પેકેટ છે?

જો $(1+x+x^2+x^3)^{100}$ ના વિસ્તરણમાં $x^r$ નો સહગુણક $a_r$ હોય,અને $S = \sum_{r=0}^{300} a_r$ હોય,તો $\sum_{r=0}^{300} r \cdot a_r =$

ધારો કે $\left(\sqrt{2^{\log_2(10-3^x)}} + \sqrt[5]{2^{(x-2)\log_2 3}}\right)^m$ ના દ્વિપદી વિસ્તરણમાં,$2^{(x-2)\log_2 3}$ ની વધતી જતી ઘાતમાં છઠ્ઠું પદ $21$ છે. જો વિસ્તરણમાં બીજા,ત્રીજા અને ચોથા પદના દ્વિપદી સહગુણકો અનુક્રમે $A.P.$ ના પ્રથમ,ત્રીજા અને પાંચમા પદ હોય,તો $x$ ની તમામ શક્ય કિંમતોના વર્ગોનો સરવાળો $.........$ છે.

ધારો કે $(7 + 4\sqrt{3})^n = p + \beta$,જ્યાં $n$ અને $p$ ધન પૂર્ણાંકો છે અને $\beta \in (0, 1)$. તો $(1 - \beta)(p + \beta)$ શું છે?